Teorema del viriale

Il teorema del viriale collega l'energia cinetica media (K) all'energia potenziale media (U) in sistemi fisici in equilibrio, indicando che il doppio dell'una è uguale all'opposto dell'altra. $$ 2K + U = 0 $$ Quindi, stabilisce una relazione tra l'energia cinetica media e l'energia potenziale media di un sistema in equilibrio stabile. È un principio che trova applicazioni in vari ambiti della fisica e fornisce intuizioni sul comportamento medio di sistemi complessi come galassie o gas ideali.

Ad esempio, immaginiamo di avere un sistema di particelle, che potrebbe essere un gas in una scatola, i pianeti in un sistema solare, o le stelle in una galassia. Queste particelle interagiscono tra loro attraverso delle forze che possono dipendere dalla distanza che le separa.

Questo teorema insegna è che, nonostante la complessità dei movimenti di ciascuna particella all'interno di un sistema, esiste una semplice relazione tra le medie dell'energia cinetica e dell'energia potenziale per l'intero sistema quando questo si trova in uno stato di equilibrio. Questo è particolarmente utile in astrofisica, perché di permette di fare affermazioni sull'energia totale di un sistema stellare o di una galassia senza dover tracciare i movimenti esatti di ogni stella o pianeta.

L'applicazione del teorema del viriale nelle stelle

Il teorema del viriale ci dice che, per un sistema in equilibrio, l'energia cinetica totale media (K) è legata all'energia potenziale totale media (U) dalla relazione:

$$ 2K=−U $$

Questa relazione vale sotto certe condizioni specifiche, in particolare per forze che seguono una legge di potenza della forma F∝r^-n, dove F è la forza, r è la distanza, e n è un numero reale. Per esempio, per la forza gravitazionale e quella elettrostatica in un sistema a due corpi, n è uguale a 2, e il teorema si applica perfettamente. Nella legge di gravitazione universale di Newton, la forza che attira due corpi è direttamente proporzionale alle loro masse (m₁·m₂) e inversamente proporzionale al quadrato della distanza (r²).

$$ F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} $$

Questo permette di calcolare la forza di gravità di una stella.

$$ F_G = G \cdot \frac{M(r) \cdot \delta m}{r^2} $$

Dove G è la costante di gravitazione universale, M(r) è la massa di una stella entro il raggio r mentre δm è la massa esterna che si trova oltre il raggio della stella, infine r² è il quadrato del raggio. Questa è la forza mediante la quale la stella esercita un'attrazione verso il proprio centro sulle masse esterne. Una stella raggiunge l'equilibrio idrostatico quando la pressione P(r) verso l'esterno generata dalle reazioni nucleari all'interno della stella è uguale e contraria alla forza di gravità che invece attrae la materia verso l'interno.

$$ F_G = P(r) $$

Considerando la stella come una concentrazione di gas perfetto, questo si traduce in una formula che esprime la legge del virale:

$$ 2K + U = 0 $$

Dove K è l'energia cinetica del gas che deriva dall'energia termica (calore) mentre U è l'energia potenziale gravitazionale. Questo significa che il potenziale gravitazionale U della massa della stella viene controbilanciato dal doppio dell'energia termica 2K del gas che si trova all'interno della stella. Ne consegue che, per una stella in equilibrio idrostatico, la stabilità è mantenuta dall'equilibrio preciso tra la pressione interna, generata dall'energia termica delle reazioni nucleari, e la forza gravitazionale che tende a comprimere la stella. Questo equilibrio dinamico garantisce che la stella non collassi sotto il proprio peso né espanda indefinitamente nello spazio, permettendole di rimanere stabile per milioni o miliardi di anni. La relazione espressa dalla legge del viriale rivela così l'importanza fondamentale dell'energia termica interna nel sostenere le stelle contro la compressione gravitazionale.